ROO:ZKSwap团队解读零知识证明算法之Bulletproofs：Arithmetic Circuits

Bulleproofs算法有两个方面的应用。

一个是Rangeproof：

第一讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof1

第二讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof2

第三讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof3

另一个是generalarithmeticcircuits，本编文章就来主要分享Bulletproofs在后者上的应用。

ArithmeticCircuits

BAYC官方活动香港ApeFest门票领取将于7月27日上午8点开放:7月26日消息，据官方消息，BAYC官方活动香港ApeFest的门票领取将于7月27日上午8点开放。官方建议用户在门票上线前先行下载及设置tokenproof 应用程序。

此前报道，BAYC将于11月3日至5日期间在香港举办ApeFest 2023猿猴盛会。[2023/7/26 15:59:46]

了解ZK-SNARK算法应该都知道算术环路的概念，下面一张图展示了zk-snark算法中，算术环路的设计规则。

Circuit设计规则：

1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；

休眠9年的比特币巨鲸转移2071.5BTC:金色财经报道，据Lookonchain监测，一个休眠了九年多的比特币巨鲸地址今天转移了2071.5个BTC（价值约6070万美元），这个新唤醒的地址在2013年12月19日收到了6071.5个比特币，当时一个比特币的价格是663美元。[2023/4/20 14:16:05]

2.不标记通过加法门连接乘法门的线，如图中绿线，仅起到连接作用；

3.同一条线直接或间接连接多个乘法门，仅表示为一条有效的线，为了方便理解，用紫色虚线表示其连接关系；

4.MulGate处的取值为图中红色字体所示

5.黄色线条为有效连接线

Karate Combat完成1800万美元融资用于加密驱动的武术:4月19日消息，空手道格斗应用程序Karate Combat完成1800万美元融资用于加密驱动的武术。加入基金领导 Bitkraft Ventures 的投资者包括 Delphi Digital、The Operating Group、Alpha Wave Global、Hashkey、RooxieXBT 等。空手道格斗联赛由HBAR 基金会赞助，该基金会支持 Hedera 生态系统和Hedera Hashgraph网络。[2023/4/19 14:14:13]

6.橙色线条表示MulGate对应的一阶约束

那Bulletproofs算法的算术环路的设计规则是什么样的呢？我们看看下图。

Circuit设计规则：

1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；

2.不标记加法门

3.不标记有常量的乘法门

4.红色字体表示乘法门的索引

5.黄色字体表示乘法门的输入和输出

6.橙色线条表示乘法门对应的一阶约束

7.蓝色线条表示相邻乘法门间的一致性约束

因此，一个完整有效的算数电路应该满足：

1.每个乘法门对应的的约束成立

2.乘法门之间的一致性约束成立

Zk-snark的算术电路通过R1CS满足了上述两个条件。

1.每个R1CS表示一个乘法门的约束

2.相邻乘法门的输出是下一个乘法门的输入，如图中的y,sym_1,sym_2

Bulletproofs的算术环路以通过以下两种方式满足上述两个条件：

1.每个乘法门对应的约束成立

2.上个乘法门的输出等于下个乘法门的输入。

看起来两个算法的证明一个算术电路有效的思想是一样，但是由于两个电路的标注规则不同，就产生两个不同的约束结果。

Zk-snark算法以validwires为基本要素，每个wire有左输入，右输入，和输出三个属性

Bulletproofs算法以validMulgate为基本要素，每个Mulgate有左输入，右输入和输出三个属性

最后，附上一张对比图：

总结以上可以看出，对数算术环路的满足性问题，不同的算法具有不同的电路描述方式。Zk-snark算法由Circuits转化到QAP，最终生成的证据仅仅再几十个字节大小；

Bulletproofs的算法由Circuits转化到innerproductor，生成的证明的大小和算术电路的乘法门的个数n有关O(log(n*Q)，电路越大，证据越大。

附录

1.Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

2.BCG+讲述了算术电路的另外一种描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf

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