SWAP:深入分析 Uniswap V3 流动性供应的数学原理

Uniswap 是 DeFi 领域的头部去中心化交易所，其在今年 5 月上线了 V3 版本协议。V3 版本与之前 V2 版本相比存在诸多差异，如集中流动性、多个费用等级、新的预言机等等。

在这些多样的特点背后，究竟藏着怎样的数学奥秘，同时是否真的能为用户带来更大的收益，减少无常损失？

知道创宇区块链安全实验室?将带你从数学原理角度在 Uniswap V3 集中流动性方面进行剖析。

在 Uniswap V3 中， 流动性提供者可以将其提供的流动性 "限制" 在任意的价格区间内来集中其流动性。

为了解释这一概念，首先我们关联到 Uniswap V2 的自动做市商曲线。在该曲线中，用户的流动性被均匀的分布在整个 (0,正无穷大) 之中。

图1

在 V2 版本中，由于许多池子的价格变动没有那么的频繁，比如 UDST/DAI 池子中。由于其价值均锚定美元，发生的交易将会聚集在上图中的 A 点附近（即x≈y）， 这就意味着流动性池中的大部分资产是永远不会被触及到的。

因此在 V3 中，用户可以将其流动性聚集在某一个线段。如下图 B 到 C 点：

国家外汇管理局山西省分局：深入推进跨境金融区块链服务平台应用:从国家外汇管理局山西省分局了解到，今年以来，山西省外汇局系统指导银行积极挖掘市场潜力，提升跨境贸易投融资便利化水平，为中小微外贸企业跨境结算与融资扩渠道、增便利。一季度，已为16家企业办理融资业务116笔，累计放款7.67亿美元。 该局提出11条措施精准帮扶中小微外贸企业。建立了覆盖163家企业的重点中小微外贸企业库，用足用准山西省155亿元再贷款再贴现专用额度。深入推进跨境金融区块链服务平台应用，已有17家银行加入平台，为16家企业办理融资业务。指导银行机构精准对接中小微外贸企业融资需求，提供“一企一策”服务，缓解资金压力。在提升外汇质效方面，畅通外汇业务办理“绿色通道”，截至4月15日，全省借助“绿色通道”为35家疫情防疫相关企业快速办理外汇业务64笔766.19万美元。（潇湘晨报）[2020/5/16]

图2

这样，由于大量用户的流动性被集中，对于 B 点到 C 点的线段的流动性将会变得非常 "厚"，这样的池子将使得来交易的人交易滑点得以显著减小，并有效提高资本效率。

在具体实现的过程中，V3 依靠了资产的杠杆。将一部分用户资产虚拟出来，导致了坐标轴图像的平移，虚拟资产假设对应 x' 和 y'。

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在原始的 Uniswap V2 中，曲线公式为：x*y=k

Uniswap V3 通过引入 x' 和 y' 资产升级了该公式。此处x'我们将其称为 x 资产的虚拟储备，y' 称为 y 资产的虚拟储备，于是引入了如下式子：

由于为资产添加了杠杆（虚拟资产），使下图中原本在下面的曲线，能够平移到上面储备量更大的曲线中去，这也意味着在有限的的价格范围 [xb, xc] 内，一组较小的储备 x、y 能够充当更大的储备 x+x'、y+y'。

同时，上方为虚拟资产被添加后的虚拟 AMM 曲线。在实际交易曲线中（限于 BC 点），下方才是流动性提供者资产的真实变化曲线。

于是，在 B 点或 C 点时，处于强势的资产将被损耗为 0，也就是说将会全部兑换成劣势资产并停止做市。

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如下图 3：

图 3 上方为虚拟平移的AMM曲线

根据 V2 的自动做市曲线方程。让 L 被定义为 k = L^2，于是有该式：x*y = k = L^2

对其开根号，即有

而对于价格来说，当前的价格 P (用 y 对 x 资产定价)有：

根据式 3，对其取平方根，即有：

联立式 4 与式 2，我们可以消去 y，对于闭区间 [B, C] 任一点，则有：

同理可消去 y，对于任一点，则有：

于是，我们只要知道 P ( x 的价格)，在流动性没有改变时( L 不改变)，则可以得到对应的 x 资产量和 y 资产量。

图4 虚拟资产x'与y'

动态 | 金融时报：未来区块链等技术与银行业的融合一定会越来越深入:据金融时报今日刊文指出，银行业“变革的思维”，还体现在科技与传统银行的结合上。未来，云计算、大数据、区块链与银行业的融合一定会越来越深入。数据和信息会成为未来银行的生命线。拥有数据和信息，就能精准勾画出消费者所需要的场景，从而提高银行服务和产品的覆盖范围与个性化程度，进而满足金融消费者的获得感、幸福感和安全感。并且，数字技术与普惠金融、小微金融、消费金融相结合，可以产生事半功倍的效果，因为小微企业与消费者是最需要数字技术所带来的金融服务便利性的客户群体。[2018/9/8]

考虑极端情况，在上图中，经过平移后上方的 AMM 图形由于在 B 点时，用户提供的 x 资产由于在实际中已全部损耗。

也就是说 x=0，剩余的 x 均为虚拟出来的，即 x'。

根据式 5 去计算。此时计算 x 资产量对于 B 点有：

同理，我们计算 C 点，此时用户提供的 y 资产由于在实际中已全部损耗，即有 y=0，剩余的 y 均为虚拟出来的，即 y'。则有

由上可知，xb?与?yc?则是Uniswap为用户虚拟出来的Token量，即x'与y'，这也是Uniswap中为用户开的杠杆的Token数量。

赵鹞：政府部门是否应该大胆的鼓励推广区块链需要深入思考:今日，中国政法大学金融创新与互联网金融法治研究中心副秘书长、中国社科院金融研究所支付清算研究中心特约研究员赵鹞发表文章称，区块链技术本身的价值中立性并不会带来基于区块链的经济社会活动的价值中立，当我们还没有准备好如何应对区块链大规模应用所产生的新的、深层次的社会、经济、金融风险时，政府部门是否应该大胆的鼓励、推广，这是需要深入思考的。就好比核能发电，我们没有完全掌握安全、可控的核聚变技术就能用于生产发电吗？显然是不可能的。所以，面对区块链、人工智能等各种破坏性创新技术的推广应用，特别是金融科技的发展，政府、学界、业界和媒体要头脑冷静，切莫用“不可控核聚变发电”。[2018/2/27]

于是，我们得到完整Uniswap V3的AMM曲线，见式9：

同时，对于选定的区间中的任意一点，由用户提供的真实的资产见下图：

注：下图摘自Uniswap V3白皮书 ，区间为[b,a]，任意一点被选择为c

图 5 用户提供的真实资产与虚拟储备 AMM 曲线

由于 V3 在用户的选择下将流动性使用添加杠杆的方式进行了集中，而对于流动性提供者来说本质上是在与用户做对手盘，即越跌越买，越高越卖，这将导致无常损失的加剧。

根据上述分析，只要价格达到设定的区间临界点，流动性提供者的代币将会完全转换为另一种处于劣势的代币，并且在价格重新进入该临界点之前不会赚取交易费用。

世上没有什么免费的午餐。风险越高，收益越高。你提供的流动性越集中，你获得的手续费收入就越高，同时也将承担更多的无常损失。——Uniswap创始人，Hayden Adams

具体而言，假设现有一 Uniswap V3 交易池，交易对 ETH/DAI，池中 X 与 Y 储备比例 10 : 800，L2 为 8000，P 为 80 即交易价格 80DAI /ETH 。

当前价格对应点 A(10,800)， 若一流动性提供商，尝试在 P=[20, 320]进行做市。对应的 点B(5,1600)，P=320。点 C(20,400)，P=20

该流动性提供商想投入 3 个 ETH，这 3 个 ETH 会被全部用于 xreal ，由于当前价格在选定区间内。

根据白皮书，有以下式子：

由式 10，投入 △x=3，投入的 ETH 将改变池子的 L。经过计算 △L 为：

再通过 △L 计算 △y:

于是投入 3 个 ETH（△x）,时，计算投入的 DAI 应为 240 个。新的 L' 约为 143.11 (仅限于在闭区间 P=[20, 320])。

对于该 Uniswap V3 池子, 若 ETH 突然上涨，价格到达 1ETH=100DAI，此时就会有套利者在该 DEX 中用 DAI 兑换 ETH 来套利，为了将其达到与外部平衡，将有 P=80 ==> P'=100，根据白皮书，Swap 计算价格变化如下：

将根号后的起始价格 P 和结束价格 P' 带入，可以计算得到 △y≈151.09，而 △x≈1.689。

若 Swap 的资产假设该流动性提供者按照 L 比例划分了 37.5%，于是该流动性提供者分摊 x≈0.6334，y≈56.66

于是我们得出如下表格：

我们将其百分比化：IL_V3 = (540-533.31)/540 ≈1.239%

集中流动性放大了资产L的占比，提高资产效率的同时承担了更多的无常损失。当然，这只是选择做市区间比较小，同时分摊比例较大的情况，现实会有许多人根据投入的L占比大小来分摊这笔swap。并且该笔swap由于本身比较大，几乎占了总资产的21.113%，进而显得无常损失的百分比很大，这也印证了盲目做市所带来的亏损。另外，价格波动对其也存在影响，只上涨到P=85时IL_V3约为0.58%。

而对于 Uniswap V2，假设原池中的资产量为 10 个 ETH 和 800 个 DAI，即 P 为 80DAI/ETH。

流动性提供者投入了 3ETH 和 240DAI，此时则存在 13 个 ETH 与 1040 个 DAI，价格仍为 80DAI/ETH，比重占 23.077%，新的 K 为 13520。

当 ETH 突然上涨，价格到达 1ETH=100DAI，此时就会有套利者用 DAI 兑换ETH来套利。

设共用 △y 个 DAI 兑换 △x 个 ETH 后，AMM 池中 ETH:DAI 价格达到与外部平衡的 1:100

不考虑手续费等因素，则有：

解得 dx≈1.3724, dy≈122.76，即套利者给了 122.76 个 DAI，换走了 1.3724 个 ETH。池子 -1.3724 个 ETH，+122.76 个 DAI

这将在所有比重中分担，于是提供者分担23.077%，即失去0.3167个ETH，换取28.33个DAI，我们得出如下表格：

IL_V2 = (540-536.66)/540 ≈ 0.6185%

具体将会取决于在 V3 做市区间，越小则杠杆越多，x' 和 y'越大，同时无常损失和手续费收益也会越多。

当然，用户也可以如 V2 一样将流动性分摊到整个曲线中去而不是某个线段，即在 0 到正无穷进行做市：

由于篇幅原因，本篇仅就集中流动性进行了讨论。Uniswap V3 创新了很多的新功能，其复杂程度相较于 V2 增加了非常多。

无可否认，Uniswap V3 的创新使得 Uniswap V2 被加强，用户可以选择将其流动性集中在任何一个区间以获得更多的手续费。

但与此同时这也将导致更多的无常损失和更大的资金转换为劣势资产速度，而这也产生了许多新特性如限价单 swap 等功能。

因此，在选择做 LP 之前，需要认真思考自己的需求，切忌盲目做市。

Uniswap V3白皮书

Uniswap V3新特性解析

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