SUM:一文了解零知识证明当中的Sum-check Protocol

原文作者：FoxTechCEO康水跃，FoxTech首席科学家孟铉济

随着比特币、区块链、智能合约等概念的铺开，越来越多的人关注到Web3领域的蓬勃发展。而在技术方面，也有许多开发者关注到支撑区块链底层的密码学协议。在这之中，零知识证明协议以其独特的特性大放异彩，无论是在实现隐私保护，还是在实现?Layer?2?性能扩容的?zkrollup?项目当中，都发挥着关键的作用。

零知识证明是一类算法的统称，到目前为止，研究者发明了包括?Plonk、Groth?16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks?等等在内的许多种协议。不同的协议适用于不同的计算场景，复杂度和效率也各有不同，例如?Foaks?就以线性的证明时间和较小的证明长度为优势。

上述的每一种协议，协议目标是相同的，就是证明者希望在不向验证者透露任何关于自己的秘密的信息的情况下让验证者相信自己拥有秘密。sum-checkprotocol?是很多协议的组件，最早在当中被提出。很多计算问题可以被转化成?sum-checkprotocol?能处理的问题，从而生成证明。包括?Foaks?在内的不少协议的底层协议都基于?sum-checkprotocol，在其上进行调整来实现。

Cathie Wood：人工智能和区块链在未来5-10年内对世界的改变超过电脑、手机和互联网:金色财经报道，ARK投资管理公司创始人Cathie Wood在社交媒体上称，祝贺南加州大学马歇尔分校 2023 届毕业生，人工智能和区块链等颠覆性技术在未来5-10年内对世界的改变，可能比个人电脑、手机和互联网在我的投资生涯中的42年还要大。大胆试试吧。[2023/5/15 15:03:44]

在?FoxTech?所采用的?Foaks?证明系统当中，该协议同样发挥着重要的作用。具体来讲，为了实现对于某一操作码?opcode?正确性的证明，需要先将其转化为算术电路，之后转换为矩阵，最终生成多项式，对多项式应用证明系统当中的算法，在最后压缩证明的部分当中，同样将证明者和验证者之间的交互过程转换为计算某个和式，也就是?sum-checkprotocol?的过程。

Yuga Labs新任CEO寻求通过游戏和活动重振NFT:4月28日消息，Yuga Labs新任首席执行官Daniel Alegre在接受采访时表示，NFT仍有光明的未来，因为它是通往游戏、活动和电子商务世界的钥匙。Alegre指出公司计划增加用户对其游戏的访问，并允许其他公司为Otherside开发产品和活动。自从加入公司以来，他大部分时间都在对Yuga进行内部重组，使其看起来更像一家传统企业，将每个NFT系列拆分为自己的小型特许经营权。

此前4月1日消息，动视暴雪前总裁Daniel Alegre正式担任Yuga Labs首席执行官。(彭博社)[2023/4/28 14:32:01]

图?1:Sum-checkProtocol?所在环节

1.协议目标

协议的目标非常简单且容易理解。

IOSG Ventures：对SVB和Silvergate风险敞口为零:金色财经报道，IOSG Ventures发布声明称，过去7天内从未进行任何USDC交易，对SVB和Silvergate的风险敞口为零。[2023/3/12 12:58:26]

假设我们有一个定义在有限域?F?上的?v?元多项式，记作?g。协议的目标是计算和式：

和在?zkRollup?当中考虑的“外包计算”的场景类似，在应用当中，上述式子的计算量会非常大，我们希望将这个式子的计算交给证明者，之后证明者向验证者证明自己的计算结果是正确的。

2.协议假设

首先，需要明确在这个协议当中验证者的能力。我们假设验证者拥有可以计算函数?g?的预言。也就是说，对于验证者而言，确定某个输入?r?1,...,?rv?之后，计算?g(r?1,...,?rv)是容易的。但是计算完整的结果?H?是困难的。

亿万富翁Bill Ackman：除非政府干预否则SVB内爆是一个很快就无法挽回的错误:金色财经报道，亿万富翁投资者Bill Ackman认为，美国银行业监管机构搞砸了，应该在硅谷银行倒闭之前更密切地关注它。Ackman警告说，如果政府不在周末介入，为破产银行的存款提供担保，可能会产生广泛而深远的后果。[2023/3/12 12:57:35]

事实上，在现实应用当中，预言不会存在，但是可以通过某种手段实现，例如我们可以让证明者帮助验证者计算这个值，并用更多的技巧附加正确性的证明。

第二点，关于协议的目标，事实上?sum-check?协议可以对于任意的集合?B?计算?bBmg(b)，但是不失一般性的，我们假设?B={?0,?1?}。

如果证明者是诚实的，应当成立?H=g?1(?0)g?1(?1)。验证者验证，若通过则选择随机数?r?1?发送给证明者。注意到，根据协议的假设，证明者可以完成上述验证。

报告：2022年美SEC共进行30起加密执法行动，较21年增加50%:1月18日消息，根据咨询公司Cornerstone Research的一份新报告，美国证券交易委员会（SEC）去年提起的加密相关的执法行动数量创下新高，达30起，比2021年增长了50%。

该公司发现，最常见的指控是欺诈和未注册的证券。在这30起执法行动中，70%指控欺诈，73%指控未注册的证券发行，50%指控两者。此外，报告显示，在2013年至2022年的127次执法行动中，SEC在56次行动中得到了外部机构和组织的协助。（TheBlock）[2023/1/18 11:18:22]

我们用?degi(p)来表示多元多项式?p?当中，第?i?个变量的次数。g?1(X?1)的次数为?deg?1(g)，所以我们知道?g?1?可以用?deg?1(g)?1?个域元素表出。

第?j(j>1)轮：

如果证明者是诚实的，应当成立?gj-1(rj-1)=gj(?0)gj(?1)。验证者验证，若通过则选择随机数?rj?发送给证明者。

第?v?轮：

Completeness:若证明者拥有有效的?Witness，则验证者会以不低于的概率接受证明；

Soundness：若证明者没有有效的?Witness，则验证者会以低于?negl的概率拒绝证明

Succinctness:Proof?的?Size?必须远小于?Witness?的?Size；

Zero-knowledge：验证者无法通过证明的交互过程获取任何关于?witness?的信息

#其中?negl为任意可忽略的函数

Sum-checkProtocol?的应用

在许多的零知识证明算法当中，sum-checkprotocol?都在发挥着重要的作用。许多问题的证明，都依赖于将原始的问题转化为?sum-check?的形式，再完成后续的步骤。

例如，可以利用?sum-checkprotocol?来计算一个无向图中的三角形数量。

首先，我们使用邻接矩阵?A?表示无向图?G，设?E?为其边集合，则?Ai,?j=?1(i,?j)E，也就是说若点?i,?j?之间存在一条边则?Ai,?j=?1?否则为?0?。对于点?i,?j,?k，三点构成三角形的条件是?Ai,?j=?1,?Ai,?k=?1,?Aj,?k=?1?。

接下来记矩阵?A?为一映射表，表示的映射为?f:{?0,?1?}logn{?0,?1?}logn{?0,?1?}，其中?logn?为?i，j?的二进制长度。所以对于点?i,?j,?k，三点构成三角形的条件进一步可以表示为?f(i,?j)f(i,?k)f(j,?k)=?1?。

此外，在许多证明系统当中，都采用了?sum-checkprotocol?作为底层逻辑进行构造。下图展示了根据在?sum-check?基础上进行不同改造得到的不同证明系统。

图?4:Sum-checkprotocol?在四类证明系统当中的应用

图?5:Sum-checkprotocol?在简洁证明方面的具体应用

产业界同时给予越来越多的关注。

CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:?859?–?868,October1992.

https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdf

https://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/

https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf

介绍?sum-check?的中文博客?https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754?

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