AMM:硬核：深入分析 TWAMM 做市商的数学原理

从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。

关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。

Nansen新增支持zkSync Era网络:金色财经报道，区块链数据分析平台Nansen新增支持zkSync Era网络，并将添加zkSync Era上的SyncSwap、Mute和SpaceFi等协议。[2023/4/27 14:29:57]

假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。

同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。

去中心化存储基础设施BNB Greenfield已上线测试网“Congo”:4月11日消息，BNB Chain开发团队推出的去中心化存储基础设施BNB Greenfield已上线测试网“Congo”，并呼吁社区积极试用Congo测试网络。Greenfield测试网络的存储提供商（SP）与测试网络验证节点合作提供完整的存储服务，存储提供商存储实际数据，而验证节点通过共识处理元数据和财务分类帐。

注：BNB Greenfield是BNB Chain生态系统中的去中心化存储基础设施，用户和DApps可以创建、存储和交换具有完全所有权的数据，形成一个新的数据经济。[2023/4/11 13:55:55]

值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。

Circle欧盟事务总监：欧洲议会就《欧盟数据法》达成初步协议，其中包括对智能合约的监管:金色财经报道，Circle欧盟政府事务高级总监 Jonas Frederiksen 发推表示，欧洲议会已就其对《欧盟数据法》的谈判立场达成初步协议，其中包括对智能合约的监管。EP(European Parliament)提案概述了智能合约的基本要求，包括稳健性和访问控制、安全终止和中断以及与传统合约的等效性。更重要的是，欧洲议会提案删除了委员会原提案中的许多严厉条款，包括合格评定和欧盟合格声明、供应商的合规责任以及协调标准。这意味着欧盟将采用更加务实的方法来监管智能合约，提供必要的保护，同时消除部署和开发的障碍。[2023/2/2 11:44:00]

首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。

美OCC代理署长：稳定币似乎是从银行业借用概念而不受监管:10月11日消息，美国货币监理署（OCC）代理署长Michael Hsu在乔治城法律华盛顿特区金融科技周会议上表示，稳定币似乎是从银行业借用概念，却又不受监管。稳定币可能被视为“伪装”的术语，该技术看起来很像银行业，但没有与传统银行业相同的规则。

他表示，“他们想借用银行存款的想法，并认为你拥有的东西有与货币一样的功能，只不过它是基于互联网的。如果我们不小心，那是不对的。如果你不能用‘稳定币’这个词来形容它，你会怎么形容它？”（The Block）[2022/10/11 10:31:15]

接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：

美国银行家协会反对美联储发行CBDC:金色财经报道，美国银行家协会（ABA）以及一些加密货币政策组织最近就美国在数字资产方面的竞争力前景致函商务部。代表美国各地银行的主要贸易协会美国银行家协会警告不要使用中央银行数字货币。 ABA在致美国商务部的信中写道，美国中央银行数字货币 (CBDC) 的所谓好处是不确定的，不太可能实现，而成本却是真实而尖锐的。CBDC 的发行将通过改变公民与美联储之间的关系，从根本上重新连接我们的银行和金融体系。（the block）[2022/7/8 1:59:27]

因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，

化简，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。

先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式线性递归表达式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则

计算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。

进一步计算，

TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。

其中，

相似的，

最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。

至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。

撰文：luffy

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