UNI:Uni V3的数学原理

前言——UniswapV3放出了很多feature，然而其最为本质的迭代依然是对AMM数学曲线的再思考。在过去的两年中，我们也躬身入局AMM领域，认为AMM最基本的曲线形态已经定型，后续的创新应该会在AMM基本曲线形态的基础上实现“策略化”，于是我们创造了MOV超导V2。而如今我们看到了V3，突然有一种“久别重逢”的感觉，在寻找这种感觉之余，我们也希望为大家呈现AMM最为深刻的思考路程。因为AMM的时代将会比想象得更为恢弘壮阔。

让我们直切正题，UniswapV3最耀眼的创新——在AMM上实现集中流动性。

V3给出了一个虚拟储备金的概念，举例讲解：

在传统V2中，Alice一次性将500,000DAI和333.33ETH注入储备池，总价值$1m，提供全区间(0,\infty)的流动性，但实际上ETH的价格波动范围在很长一段时间内是有局部范围的，这种为全区间无私提供流动性的行为大大浪费了资本利用效率。

Uniswap Labs发布两个新智能合约：Permit2和Universal Router:11月18日消息，据官方博客，Uniswap Labs发布了两个新的智能合约，即代币审批合约Permit2和集成通用路由器Universal Router。Permit2和Universal Router都是一个不可升级、无主的开源合约，已部署到Ethereum、Optimism、Arbitrum、Polygon和Celo中。

据介绍，Permit2可在不同智能合约间共享和管理代币，Universal Router可将ERC20和NFT的Swap集成至单个路由器的Universal Router。Uniswap Labs现已为这两个合约分别运行漏洞赏金计划，以确保Uniswap合约达到最高安全标准。[2022/11/18 13:20:05]

所谓的集中流动性便是让LP自主选择波动范围，只为该范围提供局部流动性，例如Bob认为未来一段时间内ETH的价格区间在(1000,2250)，并且如果未来真的是在这个区间波动，Bob希望自己获得的收益能够跟百万富豪Alice一样多，于是Bob一开始只需要投入91,751DAI和61.17ETH，总价值$183,500，远远小于Alice实际投入的资金。我们对照下图来解释其中的道理。

以太坊链上应用合约交互量排行Axie第一 Uniswap 第二:8月6日消息，Axie Infinty成为当日以太坊上用户量排名第一的应用，用户数达2.82万人，相对于昨日用户数上涨18.90%，领先第二名应用Uniswap V2 1350人。今日用户量排名第三至第五位的应用是OpenSea、Uniswap V3和Sushi Swap，当日用户数分别为1.79万、1.49万和0.47万人。此外，今日上午11时，Axie Infinty的联合创始人@TheJiho在其Twitter上表示，Axie Infinty将会降低PVE模式的游戏奖励，并提高PVP模式的游戏奖励。[2021/8/6 1:39:34]

则

即Bob所获得的虚拟曲线几乎跟Alice一样。

上述计算过程是一种反证法，实际上用户Bob会向系统算法提出自己的需求输入，包括预测价格区间范围、当前价格点、最终想要获得的一个virtualreserves规模。有了虚拟曲线表达式的确定，可以轻松算出a、b、c三个确定的点坐标，进而便算出?x_{real}=61.17以及y_{real}=91751。

Uniswap创始人：Uniswap每天只需消耗42万美元交易费:Uniswap创始人Hayden Adams发推表示：Uniswap每天消耗42万美元交易费，这样一来我们每年只需支付1.5亿美元的汽油费。这让以太坊二层扩容解决方案的重要性变得非常清楚。[2020/12/11 14:53:03]

同时，也可以看到，一旦未来价格越出了区间，Bob其中一种资产将彻底消失。

全局状态中有feeGrowthGlobal0(f_{g},0)和feeGrowthGlobal1(f_{g},1)—f_{g}，用来从全局角度统计总的手续费收益。例如，当在一个tick内发生了一笔交易，系统会计算出该笔交易产生的手续费：

f_{a}变量是对所有高于itick的区间的fee统计，f_{b}是对所有低于itick的区间的fee统计，因此在上述总公式中，我们从全局总累计手续费f_{g}中减去所有低于下界i_{l}的累计手续费，再减去所有高于上界i_{u}的累计手续费，便是(i_{l},i_{u})?之间的累计手续费。

Uniswap社区关于延长流动性挖矿提案已创建正式治理提案:金色财经报道，Uniswap社区关于延长流动性挖矿提案第二阶段共识检查（ConsensusCheck）结束，最终该提案以超过90%的支持率顺利通过，该提案将为正式治理提案进入最后的链上投票阶段。提案提议保留所有流动性矿池，将每月UNI分配总额减少一半，即从每月1000万枚UNI减少到每月500万枚UNI。具体来说，该提议建议将流动性挖矿计划延长两个月，每个月继续为WBTC/ETH（167万枚UNI）、USDC/ETH（125万枚UNI）、USDT/ETH（125万枚UNI）和DAI/ETH（83万枚UNI）提供流动性挖矿奖励。[2020/11/29 22:29:53]

f_{o}可以理解为一个计算单元，用于累积截止到i?tick的手续费，在它的初始化过程中，我们约定如下：

再来看f_{a}的计算，分成了两段，可以理解为——

假冒Uniswap网站在谷歌搜索中显示为广告:金色财经报道，加密影响者BitBoy发现，去中心化交易所Uniswap的用户可能面临假冒UniSwap网站的风险，该假冒网站在谷歌搜索中显示为广告。根据BitBoy的说法，在谷歌搜索“UniSwap”时，第一个搜索结果是一个广告链接，点击该链接会进入一个假冒的Uniswap网站，并索要钱包的助记词。如果输入助记词，加密资金将会被盗。[2020/8/13]

如果当前tick等于i或者高于i，此时从全局总手续费f_{g}中减去“累积到itick”的手续费f_{o}(i)，剩下的便是对所有高于itick的区间的fee统计；

但如果当前tick还未抵达i，此时根据对f_{o}的初始化定义为0，则所有高于itick的区间的fee统计尚未产生，为0。

同样对于f_{b}——

如果当前tick抵达或者超过了i，f_{o}(i)表示累计到i的手续费，也即对所有低于itick的区间的fee统计；

如果当前tick还未抵达i，对所有低于itick的区间的fee统计值即为当前的全局变量f_{g}。

通俗来概括，系统算法要统计某一个range内累计的手续费，

如果当前tick已经处于range内部，即i_{l}\leqi_{c}<i_{u}，只需要从全局手续费f_{g}减去所有低于i_{l}组成的range累计的手续费；

如果当前tick不处于range内部，且低于下界i_{l}，说明尚未在(i_{l},i_{u})区间内产生交易，也就未产生手续费，因此该range内累计量为0；

如果当前tick不处于range内部，且高于上界i_{u}，需要从全局总量中分别去除“两头”各自的累计量，即从全局f_{g}中减去所有低于i_{l}区间累计量，再减去“从i_{u}到当前tick区间累计量”。

UniV3计算手续费的过程是一种从微观走向宏观的思想，它将空间划分成离散的，每一个时间刻度只会在一个离散空间上产生交易，从而产生手续费，每一个微观tick都在各自记录着自己从最低tick到自身这段区间内的累计手续费总和，然后供上述公式不断调用，以计算各种宏观结果。

UniV3已经改变了传统AMM对LP行为的设定，也不再基于全局流动性和份额来为每一个LP计算手续费收益。对V3来讲，它只关注在每一个tick里存在多少“虚拟”流动性，以及这些虚拟流动性产生了多少手续费，算得单位虚拟流动性对应的手续费值；在这个时空之下，我们再把视角切到具体每一个LP上，对于任何LP，都会存在一个“开仓”的区间设定，他在自己设定的区间提供了虚拟流动性，可能是一个tick，也可能是连续多个tick，从最简单的“一个tick”角度解释，系统会记得同一时空下每一个LP在此tick注入的虚拟流动性值，并为他们确定出一个比例，以此分得该tick内所有手续费累计。

在实际情况中，LP们还会存在复杂的行为，比如注入/退出的时间纷杂、选择的range/tick纷杂。但UniV3的大道至简之处正是利用全局计算来屏蔽掉单个LP视角，只关心ticks视角和Position视角。在确定好上述所述的一系列全局状态变量的定义后，认真记录好每一笔swap交易在ticks中发生的情况，同时只记录每个tick内虚拟流动性的大小，以此为根本去提供swap交易公式以及swap后手续费如何分配给参与该tick的所有LP们。LP的复杂行为体现在空间的不连续性和时间的不统一性两方面，对于时间不统一性，UniV3还会引入Position这一级别的全局变量为每一个身份记录下其对range/tick加入/退出时手续费的统计，确保后来的LP不会参与到前序LP们已经累计的收益分配。

如果总结来讲，tick-level是对空间上发生的统计，确保起点一致的LP们fee分配，而Position-level是对时间上发生的统计，确保不同起点的LP们fee累计起点不一样。建议实现者深入V3代码，才能真正获得安全计算法。

最后，UniV3过于复杂，但大道至简，即便去模仿，模仿者依然需要下功夫深刻了解其“微积分”思维。这篇文章只选择了fee这一个角度呈现UniV3的“数学原理”，也是其实现集中流动性的核心逻辑。而在数学之外，我们有更多惊喜的“哲学意义”发现与大家分享，例如LPtoken的进化、NFT其实并不只属于艺术领域、V3会存在一个策略博弈、V3对基金池/合成资产的启示等等，当然也包括与MOV超导V2的“心有灵犀”——AMM的本质是连续性的无限网格，UniV3是在这个无限网格基础之上再实现了微观无限网格，是“无数网格机器人的叠加”，MOV超导V2则是在无限网格基础之上进行了更为宏观的无限网格，是超级网格。请期待下一篇《UniV3的自然哲学》。

作者：比原链研究院

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