SWAP:从 Uniswap v3 到 crvUSD LLAMMA

作者介绍：

0xmc@0xreviews:机制审计、产品设计、密码经济学独立研究员。

0xjezex@0xreviews:代币经济学独立研究员，初级Solidity工程师，伦敦帝国理工学院金融科技硕士生。

0xstan@0xreviews:独立开发者，DappLearning核心贡献者。

paco@perp.com:Solidity开发者、安全研究员、DeFi爱好者。

前言

Curve稳定币最难的部分是LLAMMA。LLAMMA参考了Uniswapv3中的一些原则。但是，白皮书中的价格与Uniswapv3白皮书中的算法不同。我们将统一这两个项目，并尝试了解CurveCEO是如何设计这个演算法。

用Uniswapv3作为参考

本文中价格的定义与Uniswapv3互为倒数。因此，我们修改了Uniswapv3白皮书中的公式，让它与本文保持一致。简而言之，LLAMMA试图让Uniswapv3中的一切都变得动态，以便为crvUSD债务人和清算人提供更适当的价格。

恒定乘积公式(ConstantProductFomula)比较

Uniswapv3白皮书中的公式(2.2)：

图一：Uniswapv3虚拟流动模拟

Curve稳定币白皮书中的公式(1)：

Paypal推出美元稳定币PYUSD:金色财经报道，Paypal(PYPL.O)推出美元稳定币PayPal USD（PYUSD）用于转账和支付。PayPal USD 100%由美元、短期美国国债和现金等价物支持。PayPal USD可按1:1兑换美元，由Paxos Trust Company发行。PYUSD将逐步向PayPal在美国的客户开放，并将很快在Venmo上提供。

购买PYUSD的符合条件的美国PayPal客户将能够：

1. 在PayPal和兼容的外部钱包之间转移PYUSD；

2. 使用PYUSD进行个人对个人付款；

3. 在结账时选择使用PYUSD；

4.将PayPal支持的任何加密货币与PYUSD相互转换。

PayPal表示，PYUSD是PayPal网络中唯一支持的稳定币。PYUSD是在以太坊区块链上发行的ERC-20代币。[2023/8/7 21:30:22]

图二:有外部价格来源的AMM

在这裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up

而对应关係为：

Scroll联创：预计年内上线主网，一直看重开发、社区等高质量互动:5月22日消息，以太坊Layer2解决方案Scroll联合创始人Sandy Peng在接受区块先生Mr Block采访时表示，我们很有信心会在未来几个月以内推出我们的主网，具体的时间还没有定，应该是在Q3、Q4。

此外，Sandy就Token相关问题表示，我们会花很多的时间写教育类blog，帮助大家了解我们的技术、原理和概念。现在会花很多的时间精力去鼓励builder（开发者）去做一些能让大家共用、有用的东西，同时还会鼓励社区成员加强学习活动以投资自己，长期来看，肯定会有特别大的（知识上的）收益。还是要做一些building（开发）类的利他活动，与building、organization（社区）有关的，虽然很难衡量但却是我们一直看重的。更高质量的互动方式第一就肯定是自我的提升和学习。第二就是在Scroll上做一些高质量的创业。[2023/5/22 15:18:59]

对应的恒定乘积公式为：

而在这之间：

流动性计算公式对应

Uniswapv3白皮书中的公式(6.7)：

链游Million on Mars完成350万美元种子轮融资:金色财经报道，链游 Million on Mars 完成 350 万美元种子轮融资，Great South Gate 和 Widus Partners 领投，Solana Labs 等参投。该轮融资用于支持其基于区块链的太空模拟，为游戏添加更多的系统和虚拟环境。该游戏可在 Solana 和 Wax 区块链上运行。[2023/2/17 12:13:43]

由于它们的价格定义之间存在倒数关係，对应的公式为：

此公式的一个具体应用是：

平方展开可以得到：

从上面的公式我们很容易的可以了解，当y0保持不变，Pcd和Pcu数值越接近，相对应的流动性I则越大。

换句话说：

Eight Capital Partners拟募资1000万英镑投资DeFi和潜在加密银行业务:11月3日消息，金融科技集团Eight Capital Partners宣布，作为其转型增长战略的一部分，该集团将通过配股方式（美股0.02便士的价格发现总计500亿份新股）募资1000万英镑。Eight Capital Partners董事会表示，他们将利用募集资金专注于投资金融科技、DeFi和“潜在”加密货币银行业务。（law360）[2022/11/4 12:15:03]

流动性不可能是无限的,在UniswapV3中对应最小的tick会限制L的大小。

由此可以推断在LLAMMA中，我们还需要定义一个指标来衡量价格之间的最小差异，来继续Uniswapv3和Curve的类推。

对应最小差价

从A的定义中可以看出?,当p↓和p↑越接近时，A则越大，流动性集中度越高：

Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被预设。因此，tickSpacing决定了LP分配流动性的最低价格范围。tickSpacing越小，价格范围越窄、越精确。在Uniswapv3中，不同的费用等级决定了不同的tickSpacing。

然而，crvUSDLLAMMA不需要那麽多tickSpacing。由于LLAMMA仅有ETH-crvUSD,因此只需要让每一个tickSpacing=100basepoint。?

P2E游戏SolChicks开发商Catheon Gaming完成5500万美元融资:金色财经报道，Solana上P2E游戏SolChicks开发商Catheon Gaming完成5500万美元融资，用于在Solana区块链上构建游戏。Catheon Gaming正计划推出一个名为catheon的新代币和一个新的即玩即赚（P2E）游戏平台，代币会在10月24日推出。Catheon Gaming计划允许符合条件的chicks持有者以1:1的比例将其代币换成catheon。（the block）[2022/10/18 17:31:03]

来自Uniswapv3的公式(6.1)：

在LLAMMA中，A=100，来自Curve稳定币白皮书的公式(11)：

设置n=-i,A=100,我们会得到：

设计Pcd和Pcu

我们希望LLAMMA具有以下属性：当ETH价格上涨时，矿池购买ETH。当ETH下跌时，矿池出售ETH。在这样的机制下，我们把Pcd和Pcu定义为Po的函数并且比线性函数更陡峭，因此它们的增长率会比Po更快。同时从图中可以看出两条曲线Pcu和Pcd分别通过两点(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。满足以上要求的Pcd和Pcu其实有很多曲线。通用公式为：

当m<n

让我们从最简单的例子开始：

把Pcu和Pcd带入I的平方展开：

然后f2可以计算为：

不难发现f2在这种假设下很难理解和计算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函数:

把Pcu和Pcd带入I的平方展开：

重新计算f2：

可以看出，当?Pcu和Pcd是Po的三次函数，整个数学形式就简单多了。去掉了平方根项，计算方便多了。如果接受更高的订单，则AMM的价格和Po将相差很大，因此购买ETH的成本会更高，而导致更大的清算损失。总之，把Pcu和Pcd定义为Po的三次函数是一个更好的选择。

其他参数的推导

Pcu和Pcd是关于Po的三次函数,取特别数值Po=P↑,不难得到Y=Y0和X=0，于是：

鉴于I的公式，我们可以计算f和g：

在这边，我们最终得到完整的恒定乘积公式：

将上方公式转化为Y0二次方程式：

用一个未知数的二次方程求解Y0：

如果价格变动的够慢让预言机价格Po完全有能力遵循它，给定X和Y，使用Uniswapv3的计算公式，是有可能计算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最终将处于的区间内：

参考出处：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf

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